Løs 4078379=4040a-a^2

$$4078379 = 4040 a - a ^ { 2 }$$

Løs for a

$$a=\sqrt{2021}+2020\approx 2064,955533586$$

$$a=2020-\sqrt{2021}\approx 1975,044466414$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$4040a-a^{2}=4078379$$

Subtraher 4078379 fra begge sider.

$$4040a-a^{2}-4078379=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-a^{2}+4040a-4078379=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 4040 med b og -4078379 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{4040^{2}-4\left(-1\right)\left(-4078379\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 4040.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{16321600-4\left(-1\right)\left(-4078379\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{16321600+4\left(-4078379\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -4078379.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{16321600-16313516}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 16321600 til -16313516.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{8084}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 8084.

$$a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{-2} når ± er plus. Adder -4040 til 2\sqrt{2021}.

$$a=\frac{2\sqrt{2021}-4040}{-2}$$

Divider -4040+2\sqrt{2021} med -2.

$$a=2020-\sqrt{2021}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{2021} fra -4040.

$$a=\frac{-2\sqrt{2021}-4040}{-2}$$

Divider -4040-2\sqrt{2021} med -2.

$$a=\sqrt{2021}+2020$$

Ligningen er nu løst.

$$a=2020-\sqrt{2021} a=\sqrt{2021}+2020$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$4040a-a^{2}=4078379$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-a^{2}+4040a=4078379$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-a^{2}+4040a}{-1}=\frac{4078379}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$a^{2}+\frac{4040}{-1}a=\frac{4078379}{-1}$$

Divider 4040 med -1.

$$a^{2}-4040a=\frac{4078379}{-1}$$

Divider 4078379 med -1.

$$a^{2}-4040a=-4078379$$

Divider -4040, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2020. Adder derefter kvadratet af -2020 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-4040a+\left(-2020\right)^{2}=-4078379+\left(-2020\right)^{2}$$

Kvadrér -2020.

$$a^{2}-4040a+4080400=-4078379+4080400$$

Adder -4078379 til 4080400.

$$a^{2}-4040a+4080400=2021$$

Faktor a^{2}-4040a+4080400. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-2020\right)^{2}=2021$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-2020\right)^{2}}=\sqrt{2021}$$

Forenkling.

$$a-2020=\sqrt{2021} a-2020=-\sqrt{2021}$$

Adder 2020 på begge sider af ligningen.

$$a=\sqrt{2021}+2020 a=2020-\sqrt{2021}$$