Løs 400=x(40-x)

$$400=x(40-x)$$

Løs for x

$$x=20$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 40-x.

$$400=40x-x^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$40x-x^{2}=400$$

Subtraher 400 fra begge sider.

$$40x-x^{2}-400=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+40x-400=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 40 med b og -400 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-400\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 40.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-400\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-400\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -400.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1600}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1600 til -1600.

$$x=\frac{-40±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{40}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=-\frac{40}{-2}$$

Divider -40 med -2.

$$x=20$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 40-x.

$$400=40x-x^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$40x-x^{2}=400$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+40x=400$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{400}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{400}{-1}$$

Divider 40 med -1.

$$x^{2}-40x=\frac{400}{-1}$$

Divider 400 med -1.

$$x^{2}-40x=-400$$

Divider -40, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -20. Adder derefter kvadratet af -20 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-400+\left(-20\right)^{2}$$

Kvadrér -20.

$$x^{2}-40x+400=-400+400$$

Adder -400 til 400.

$$x^{2}-40x+400=0$$

Faktor x^{2}-40x+400. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-20\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-20=0 x-20=0$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$x=20 x=20$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=20$$