Løs 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 40x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Løsningen er det par, der får summen -14.

$$a=-10 b=-4$$

Omskriv 40x^{2}-14x+1 som \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Ud10x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Løs 4x-1=0 og 10x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 40 med a, -14 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multiplicer -4 gange 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Adder 196 til -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multiplicer 2 gange 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±6}{80} når ± er plus. Adder 14 til 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Reducer fraktionen \frac{20}{80} til de laveste led ved at udtrække og annullere 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±6}{80} når ± er minus. Subtraher 6 fra 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{80} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Divider begge sider med 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Division med 40 annullerer multiplikationen med 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{40} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Divider -\frac{7}{20}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{40}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{40} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{40} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Føj -\frac{1}{40} til \frac{49}{1600} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Adder \frac{7}{40} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$