Løs 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Løs for z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4z^{2}+60z=800$$

Subtraher 800 fra begge sider af ligningen.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Hvis 800 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 60 med b og -800 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 60.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Adder 3600 til 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} når ± er plus. Adder -60 til 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Divider -60+20\sqrt{41} med 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} når ± er minus. Subtraher 20\sqrt{41} fra -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Divider -60-20\sqrt{41} med 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4z^{2}+60z=800$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Divider 60 med 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Divider 800 med 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Divider 15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Adder 200 til \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Faktor z^{2}+15z+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Forenkling.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Subtraher \frac{15}{2} fra begge sider af ligningen.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$