Løs 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Løs for y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4y^{2}-56y=108$$

Subtraher 108 fra begge sider af ligningen.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Hvis 108 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -56 med b og -108 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -56.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Adder 3136 til 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -56 er 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} når ± er plus. Adder 56 til 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Divider 56+16\sqrt{19} med 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} når ± er minus. Subtraher 16\sqrt{19} fra 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Divider 56-16\sqrt{19} med 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4y^{2}-56y=108$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Divider -56 med 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Divider 108 med 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Divider -14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -7. Adder derefter kvadratet af -7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrér -7.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Adder 27 til 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Faktor y^{2}-14y+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Forenkling.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$