Løs 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Løs for x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Vejledning i brug af substitution

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$4x-y=5$$

Adder y på begge sider af ligningen.

$$4x=y+5$$

Divider begge sider med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplicer \frac{1}{4} gange y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substituer \frac{5+y}{4} for x i den anden ligning, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplicer -4 gange \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Adder -y til 5y.

$$4y-5=7$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$4y=12$$

Divider begge sider med 4.

$$y=3$$

Substituer 3 for y i x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplicer \frac{1}{4} gange 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Føj \frac{5}{4} til \frac{3}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=2$$

Systemet er nu løst.

$$x=2,y=3$$

Vejledning i brug af matrixer

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=2,y=3$$

Vejledning i brug af eliminering

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Hvis 4x og -4x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med -4 og alle led på hver side af den anden ligning med 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Forenkling.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Subtraher -16x+20y=28 fra -16x+4y=-20 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Adder -16x til 16x. Betalingsbetingelserne -16x og 16x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$4y-20y=-20-28$$

Adder 4y til -20y.

$$-16y=-20-28$$

Adder -20 til -28.

$$-16y=-48$$

Divider begge sider med -16.

$$y=3$$

Substituer 3 for y i -4x+5y=7. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplicer 5 gange 3.

$$-4x+15=7$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$-4x=-8$$

Divider begge sider med -4.

$$x=2$$

Systemet er nu løst.

$$x=2,y=3$$