Løs 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Løsningen er det par, der får summen -9.

$$a=-12 b=3$$

Omskriv 4x^{2}-9x-9 som \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Ud4x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Løs x-3=0 og 4x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -9 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Adder 81 til 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±15}{8} når ± er plus. Adder 9 til 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Divider 24 med 8.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±15}{8} når ± er minus. Subtraher 15 fra 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Divider -\frac{9}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Føj \frac{9}{4} til \frac{81}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Adder \frac{9}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$