Løs 4x^2-9x+2=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x + 2 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -9.

$$a=-8 b=-1$$

Omskriv 4x^{2}-9x+2 som \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-x+2\right)$$

Ud4x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$4x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(4x-1\right)$$

Løs x-2=0 og 4x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-9x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -9 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Adder 81 til -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{9±7}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±7}{8} når ± er plus. Adder 9 til 7.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±7}{8} når ± er minus. Subtraher 7 fra 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-9x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-9x+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-9x=-2$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{9}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Føj -\frac{1}{2} til \frac{81}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Adder \frac{9}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$