Løs 4x^2-84x+41=0

$$4 x ^ { 2 } - 84 x + 41 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{41}{2} = 20\frac{1}{2} = 20,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx+41. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-84 ab=4\times 41=164$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 164.

$$-1,-164 -2,-82 -4,-41$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-164=-165 -2-82=-84 -4-41=-45$$

Løsningen er det par, der får summen -84.

$$a=-82 b=-2$$

Omskriv 4x^{2}-84x+41 som \left(4x^{2}-82x\right)+\left(-2x+41\right).

$$\left(4x^{2}-82x\right)+\left(-2x+41\right)$$

Ud2x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x-41\right)-\left(2x-41\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-41 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-41\right)\left(2x-1\right)$$

Løs 2x-41=0 og 2x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{41}{2} x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-84x+41=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -84 med b og 41 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{\left(-84\right)^{2}-4\times 4\times 41}}{2\times 4}$$

Kvadrér -84.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-4\times 4\times 41}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-16\times 41}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 41.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-656}}{2\times 4}$$

Adder 7056 til -656.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{6400}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 6400.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±80}{2\times 4}$$

Det modsatte af -84 er 84.

$$x=\frac{84±80}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{84±80}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{84±80}{8} når ± er plus. Adder 84 til 80.

$$x=\frac{164}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{164}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{41}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{84±80}{8} når ± er minus. Subtraher 80 fra 84.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{41}{2} x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-84x+41=0$$

Subtraher 41 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-84x+41-41=-41$$

Hvis 41 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-84x=-41$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-84x}{4}=-\frac{41}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{84}{4}\right)x=-\frac{41}{4}$$

Divider -84 med 4.

$$x^{2}-21x=-\frac{41}{4}$$

Divider -21, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{21}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{21}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-\frac{41}{4}+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{21}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{-41+441}{4}$$

Føj -\frac{41}{4} til \frac{441}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=100$$

Faktor x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=100$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Forenkling.

$$x-\frac{21}{2}=10 x-\frac{21}{2}=-10$$

Adder \frac{21}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{41}{2} x=\frac{1}{2}$$