Løs 4x^2-8x=1

$$4 x ^ { 2 } - 8 x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx 2,118033989$$

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx -0,118033989$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-8x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-8x-1=1-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-8x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -8 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+16}}{2\times 4}$$

Adder 64 til 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{80}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} når ± er plus. Adder 8 til 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+8}{8}$$

Divider 8+4\sqrt{5} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{5} fra 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{5}}{8}$$

Divider 8-4\sqrt{5} med 8.

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-8x=1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{4}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}+1$$

Adder \frac{1}{4} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{\sqrt{5}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$