Løs 4x^2-8x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=4\times 3=12$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=-6 b=-2$$

Omskriv 4x^{2}-8x+3 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right)$$

Ud2x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-1\right)$$

Løs 2x-3=0 og 2x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -8 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Adder 64 til -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2\times 4}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±4}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{8±4}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±4}{8} når ± er plus. Adder 8 til 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±4}{8} når ± er minus. Subtraher 4 fra 8.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-8x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-8x=-3$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{3}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{4}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{3}{4}+1$$

Adder -\frac{3}{4} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{1}{2} x-1=-\frac{1}{2}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$