Løs 4x^2-75x+50=0

$$4 x ^ { 2 } - 75 x + 50 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{193} + 75}{8} \approx 18,057777493$$

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}\approx 0,692222507$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-75x+50=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -75 med b og 50 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

Kvadrér -75.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-16\times 50}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 50.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-800}}{2\times 4}$$

Adder 5625 til -800.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{4825}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 4825.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -75 er 75.

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8} når ± er plus. Adder 75 til 5\sqrt{193}.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8} når ± er minus. Subtraher 5\sqrt{193} fra 75.

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-75x+50=0$$

Subtraher 50 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-75x+50-50=-50$$

Hvis 50 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-75x=-50$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-75x}{4}=-\frac{50}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{50}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-50}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{25}{2}$$

Divider -\frac{75}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{75}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{75}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{75}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=-\frac{25}{2}+\frac{5625}{64}$$

Føj -\frac{25}{2} til \frac{5625}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=\frac{4825}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}=\frac{4825}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4825}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{75}{8}=\frac{5\sqrt{193}}{8} x-\frac{75}{8}=-\frac{5\sqrt{193}}{8}$$

Adder \frac{75}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$