Løs 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -7 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Adder 49 til 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} når ± er plus. Adder 7 til \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} når ± er minus. Subtraher \sqrt{65} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Divider -\frac{7}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{49}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Adder \frac{7}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$