Løs 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-4 b=-3$$

Omskriv 4x^{2}-7x+3 som \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Ud4x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Løs x-1=0 og 4x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -7 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Adder 49 til -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±1}{8} når ± er plus. Adder 7 til 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divider 8 med 8.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±1}{8} når ± er minus. Subtraher 1 fra 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Divider -\frac{7}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Føj -\frac{3}{4} til \frac{49}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Adder \frac{7}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$