Løs 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -4.

$$a=-2 b=-2$$

Omskriv 4x^{2}-4x+1 som \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Ud2x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -4 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Adder 16 til -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Føj -\frac{1}{4} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{1}{2}$$