Løs 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -2 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Adder 4 til -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} når ± er plus. Adder 2 til 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Divider 2+2i\sqrt{35} med 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{35} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Divider 2-2i\sqrt{35} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Føj -\frac{9}{4} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$