Løs 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -18 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Kvadrér -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Adder 324 til -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -18 er 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} når ± er plus. Adder 18 til 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Divider 18+2\sqrt{61} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{61} fra 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Divider 18-2\sqrt{61} med 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Føj -\frac{5}{4} til \frac{81}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$