Løs 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-14x=9$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -14 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Adder 196 til 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} når ± er plus. Adder 14 til 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Divider 14+2\sqrt{85} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{85} fra 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Divider 14-2\sqrt{85} med 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-14x=9$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Føj \frac{9}{4} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$