Løs 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1,75+0,433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1,75-0,433012702i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -14 med b og 13 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

Adder 196 til -208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -12.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} når ± er plus. Adder 14 til 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

Divider 14+2i\sqrt{3} med 8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{3} fra 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

Divider 14-2i\sqrt{3} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Subtraher 13 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

Hvis 13 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-14x=-13$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

Føj -\frac{13}{4} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$