Løs 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-27. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -12.

$$a=-18 b=6$$

Omskriv 4x^{2}-12x-27 som \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Løs 2x-9=0 og 2x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -12 med b og -27 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Adder 144 til 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±24}{8} når ± er plus. Adder 12 til 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{36}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±24}{8} når ± er minus. Subtraher 24 fra 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Adder 27 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Hvis -27 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Subtraher -27 fra 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Divider -12 med 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Føj \frac{27}{4} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$