Løs 4x^2-12x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 3}{2} \approx 3,08113883$$

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}\approx -0,08113883$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -12 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+16}}{2\times 4}$$

Adder 144 til 16.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{160}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 160.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8} når ± er plus. Adder 12 til 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+12}{8}$$

Divider 12+4\sqrt{10} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{10} fra 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{10}}{8}$$

Divider 12-4\sqrt{10} med 8.

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-12x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$4x^{2}-12x=1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Divider -12 med 4.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{4}$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1+9}{4}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$