Løs 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Subtraher 16 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Hvis 16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Subtraher 16 fra 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -11 med b og 14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kvadrér -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Adder 121 til -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} når ± er plus. Adder 11 til i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{103} fra 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Subtraher 30 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Hvis 30 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Subtraher 30 fra 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Divider -\frac{11}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Føj -\frac{7}{2} til \frac{121}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Adder \frac{11}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$