Løs 4x^2+x=18

$$4 x ^ { 2 } + x = 18$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2,25$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 18 fra begge sider.

$$4x^{2}+x-18=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-18. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=4\left(-18\right)=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-8 b=9$$

Omskriv 4x^{2}+x-18 som \left(4x^{2}-8x\right)+\left(9x-18\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(9x-18\right)$$

Ud4x i den første og 9 i den anden gruppe.

$$4x\left(x-2\right)+9\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(4x+9\right)$$

Løs x-2=0 og 4x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{9}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+x=18$$

Subtraher 18 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+x-18=18-18$$

Hvis 18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+x-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 1 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -18.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 4}$$

Adder 1 til 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-1±17}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±17}{8} når ± er plus. Adder -1 til 17.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±17}{8} når ± er minus. Subtraher 17 fra -1.

$$x=-\frac{18}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{9}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+x=18$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{18}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{9}{2}$$

Divider \frac{1}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{2}+\frac{1}{64}$$

Føj \frac{9}{2} til \frac{1}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{289}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{17}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{17}{8}$$

Subtraher \frac{1}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{9}{4}$$