Løs 4x^2+9x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 9 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{65}-9}{8}\approx -0,117217781$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-9}{8}\approx -2,132782219$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+9x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 9 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-16}}{2\times 4}$$

Adder 81 til -16.

$$x=\frac{-9±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{65}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{65}}{8} når ± er plus. Adder -9 til \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-9}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{65}}{8} når ± er minus. Subtraher \sqrt{65} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-9}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{65}-9}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-9}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+9x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+9x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+9x=-1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+9x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Divider \frac{9}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{9}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{9}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{81}{64}$$

Føj -\frac{1}{4} til \frac{81}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{65}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Subtraher \frac{9}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{65}-9}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-9}{8}$$