Løs 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 4 med a, 8 med b, og -45 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Løs ligningen x=\frac{-8±28}{8} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\frac{5}{2} og x+\frac{9}{2} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\frac{5}{2} er positiv og x+\frac{9}{2} er negativ.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x+\frac{9}{2} er positiv og x-\frac{5}{2} er negativ.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$