Løs 4x^2+6x-3=12

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 12$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{69} - 3}{4} \approx 1,326655966$$

$$x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}\approx -2,826655966$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+6x-3=12$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+6x-3-12=12-12$$

Hvis 12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+6x-3-12=0$$

Subtraher 12 fra -3.

$$4x^{2}+6x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 6 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -15.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+240}}{2\times 4}$$

Adder 36 til 240.

$$x=\frac{-6±\sqrt{276}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 276.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{8} når ± er plus. Adder -6 til 2\sqrt{69}.

$$x=\frac{2\sqrt{69}-6}{8}$$

Divider -6+2\sqrt{69} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{69}-3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{69} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{69}-6}{8}$$

Divider -6-2\sqrt{69} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{69}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+6x-3=12$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=12-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+6x=12-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 12.

$$4x^{2}+6x=15$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=\frac{15}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=\frac{15}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{15}{4}$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{15}{4}+\frac{9}{16}$$

Føj \frac{15}{4} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{69}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{69}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{69}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{69}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{69}}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{69}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}$$