Løs 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-81. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Løsningen er det par, der får summen 48.

$$a=-6 b=54$$

Omskriv 4x^{2}+48x-81 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Ud2x i den første og 27 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Løs 2x-3=0 og 2x+27=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 48 med b og -81 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Adder 2304 til 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-48±60}{8} når ± er plus. Adder -48 til 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-48±60}{8} når ± er minus. Subtraher 60 fra -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-108}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Adder 81 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Hvis -81 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Subtraher -81 fra 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Divider 48 med 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Divider 12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 6. Adder derefter kvadratet af 6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Kvadrér 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Adder \frac{81}{4} til 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktor x^{2}+12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Forenkling.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$