Løs 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 4 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Adder 16 til -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} når ± er plus. Adder -4 til 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Divider -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} med 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} når ± er minus. Subtraher 8i\sqrt{2} fra -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Divider -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} med 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Divider 4 med 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Føj -\frac{9}{4} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$