Løs 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 8.

$$1,8 2,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+8=9 2+4=6$$

Løsningen er det par, der får summen 6.

$$a=2 b=4$$

Omskriv x^{2}+6x+8 som \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Udx i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Løs x+2=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-2 x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 24 med b og 32 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Kvadrér 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Adder 576 til -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±8}{8} når ± er plus. Adder -24 til 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Divider -16 med 8.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±8}{8} når ± er minus. Subtraher 8 fra -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Divider -32 med 8.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Subtraher 32 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Hvis 32 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Divider 24 med 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Divider -32 med 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Divider 6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 3. Adder derefter kvadratet af 3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Kvadrér 3.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Adder -8 til 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Faktor x^{2}+6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkling.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$x=-2 x=-4$$