Løs 4x^2+2x-8=0

$$4 x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{33} - 1}{4} \approx 1,186140662$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}\approx -1,686140662$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 2 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+128}}{2\times 4}$$

Adder 4 til 128.

$$x=\frac{-2±\sqrt{132}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 132.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{33}.

$$x=\frac{2\sqrt{33}-2}{8}$$

Divider -2+2\sqrt{33} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{33} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{33}-2}{8}$$

Divider -2-2\sqrt{33} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+2x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Hvis -8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+2x=-\left(-8\right)$$

Subtraher -8 fra 0.

$$4x^{2}+2x=8$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{8}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{8}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{8}{4}$$

Divider 8 med 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=2$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=2+\frac{1}{16}$$

Adder 2 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$