Løs 4x^2+2x+3=1

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 1$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}\approx -0,25-0,661437828i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+2x+3=1$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+2x+3-1=1-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+2x+3-1=0$$

Subtraher 1 fra 3.

$$4x^{2}+2x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 2 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32}}{2\times 4}$$

Adder 4 til -32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -28.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{8} når ± er plus. Adder -2 til 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{7}i}{8}$$

Divider -2+2i\sqrt{7} med 8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{7}i}{8} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{7} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i-2}{8}$$

Divider -2-2i\sqrt{7} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+2x+3=1$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+2x+3-3=1-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+2x=1-3$$

Subtraher 3 fra 1.

$$4x^{2}+2x=-2$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Føj -\frac{1}{2} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$