Løs 4x^2+15x-25=0

$$4 x ^ { 2 } + 15 x - 25 = 0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-25. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=15 ab=4\left(-25\right)=-100$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -100.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

Løsningen er det par, der får summen 15.

$$a=-5 b=20$$

Omskriv 4x^{2}+15x-25 som \left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-5\right)\left(x+5\right)$$

Løs 4x-5=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+15x-25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 15 med b og -25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-16\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -25.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+400}}{2\times 4}$$

Adder 225 til 400.

$$x=\frac{-15±\sqrt{625}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 625.

$$x=\frac{-15±25}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-15±25}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-15±25}{8} når ± er plus. Adder -15 til 25.

$$x=\frac{10}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-15±25}{8} når ± er minus. Subtraher 25 fra -15.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Divider -40 med 8.

$$x=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+15x-25=0$$

Adder 25 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+15x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Hvis -25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+15x=-\left(-25\right)$$

Subtraher -25 fra 0.

$$4x^{2}+15x=25$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+15x}{4}=\frac{25}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x=\frac{25}{4}$$

Divider \frac{15}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{15}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{15}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{25}{4}+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{15}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{25}{4}+\frac{225}{64}$$

Føj \frac{25}{4} til \frac{225}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{625}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{625}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{15}{8}=\frac{25}{8} x+\frac{15}{8}=-\frac{25}{8}$$

Subtraher \frac{15}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$