Løs 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 14 med b og -27 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Adder 196 til 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} når ± er plus. Adder -14 til 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Divider -14+2\sqrt{157} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{157} fra -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Divider -14-2\sqrt{157} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Adder 27 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Hvis -27 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Subtraher -27 fra 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Divider \frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Føj \frac{27}{4} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Subtraher \frac{7}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$