Løs 4x^2+110x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0,229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27,270817283$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 110 med b og 25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Kvadrér 110.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Adder 12100 til -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} når ± er plus. Adder -110 til 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Divider -110+30\sqrt{13} med 8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} når ± er minus. Subtraher 30\sqrt{13} fra -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Divider -110-30\sqrt{13} med 8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{110}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Divider \frac{55}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{55}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{55}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{55}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Føj -\frac{25}{4} til \frac{3025}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

Subtraher \frac{55}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$