Løs 4x=4x^2-8x+4

$$4 x = 4 x ^ { 2 } - 8 x + 4$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$4x-4x^{2}=-8x+4$$

Tilføj 8x på begge sider.

$$4x-4x^{2}+8x=4$$

Kombiner 4x og 8x for at få 12x.

$$12x-4x^{2}=4$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$12x-4x^{2}-4=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}+12x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 12 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-64}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 144 til -64.

$$x=\frac{-12±\sqrt{80}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 80.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8} når ± er plus. Adder -12 til 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}-12}{-8}$$

Divider -12+4\sqrt{5} med -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{5} fra -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}-12}{-8}$$

Divider -12-4\sqrt{5} med -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$4x-4x^{2}=-8x+4$$

Tilføj 8x på begge sider.

$$4x-4x^{2}+8x=4$$

Kombiner 4x og 8x for at få 12x.

$$12x-4x^{2}=4$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}+12x=4$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=\frac{4}{-4}$$

Divider 12 med -4.

$$x^{2}-3x=\frac{4}{-4}$$

Divider 4 med -4.

$$x^{2}-3x=-1$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Adder -1 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$