Løs 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Løs for n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 11 fra begge sider.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4n^{2}+an+bn-11. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-11 b=4$$

Omskriv 4n^{2}-7n-11 som \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Udfaktoriser n i 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Udfaktoriser fællesleddet 4n-11 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Løs 4n-11=0 og n+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4n^{2}-7n=11$$

Subtraher 11 fra begge sider af ligningen.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Hvis 11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -7 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Adder 49 til 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{7±15}{8} når ± er plus. Adder 7 til 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{22}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{7±15}{8} når ± er minus. Subtraher 15 fra 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Divider -8 med 8.

$$n=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4n^{2}-7n=11$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Divider -\frac{7}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Føj \frac{11}{4} til \frac{49}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Adder \frac{7}{8} på begge sider af ligningen.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$