Løs 4n^2+34n-140=0

$$4 n ^ { 2 } + 34 n - 140 = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{849} - 17}{4} \approx 3,034401142$$

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}\approx -11,534401142$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4n^{2}+34n-140=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 34 med b og -140 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 34.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-16\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -140.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156+2240}}{2\times 4}$$

Adder 1156 til 2240.

$$n=\frac{-34±\sqrt{3396}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 3396.

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8} når ± er plus. Adder -34 til 2\sqrt{849}.

$$n=\frac{2\sqrt{849}-34}{8}$$

Divider -34+2\sqrt{849} med 8.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{849} fra -34.

$$n=\frac{-2\sqrt{849}-34}{8}$$

Divider -34-2\sqrt{849} med 8.

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4n^{2}+34n-140=0$$

Adder 140 på begge sider af ligningen.

$$4n^{2}+34n-140-\left(-140\right)=-\left(-140\right)$$

Hvis -140 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4n^{2}+34n=-\left(-140\right)$$

Subtraher -140 fra 0.

$$4n^{2}+34n=140$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4n^{2}+34n}{4}=\frac{140}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$n^{2}+\frac{34}{4}n=\frac{140}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{34}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=\frac{140}{4}$$

Divider 140 med 4.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=35$$

Divider \frac{17}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{17}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{17}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=35+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{17}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=35+\frac{289}{16}$$

Adder 35 til \frac{289}{16}.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=\frac{849}{16}$$

Faktor n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{849}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{849}{16}}$$

Forenkling.

$$n+\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{849}}{4} n+\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{849}}{4}$$

Subtraher \frac{17}{4} fra begge sider af ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$