Løs 4m^2-14m+8=0

$$4 m ^ { 2 } - 14 m + 8 = 0$$

Løs for m

$$m = \frac{\sqrt{17} + 7}{4} \approx 2,780776406$$

$$m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}\approx 0,719223594$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4m^{2}-14m+8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -14 med b og 8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Kvadrér -14.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 8}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 8.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-128}}{2\times 4}$$

Adder 196 til -128.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{68}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 68.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$m=\frac{14±2\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$m=\frac{14±2\sqrt{17}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{14±2\sqrt{17}}{8} når ± er plus. Adder 14 til 2\sqrt{17}.

$$m=\frac{2\sqrt{17}+14}{8}$$

Divider 14+2\sqrt{17} med 8.

$$m=\frac{\sqrt{17}+7}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{14±2\sqrt{17}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{17} fra 14.

$$m=\frac{14-2\sqrt{17}}{8}$$

Divider 14-2\sqrt{17} med 8.

$$m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$m=\frac{\sqrt{17}+7}{4} m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4m^{2}-14m+8=0$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$4m^{2}-14m+8-8=-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4m^{2}-14m=-8$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4m^{2}-14m}{4}=-\frac{8}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$m^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)m=-\frac{8}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m=-\frac{8}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m=-2$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m+\frac{49}{16}=-2+\frac{49}{16}$$

Adder -2 til \frac{49}{16}.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m+\frac{49}{16}=\frac{17}{16}$$

Faktor m^{2}-\frac{7}{2}m+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(m-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Forenkling.

$$m-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} m-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$m=\frac{\sqrt{17}+7}{4} m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$