Løs 4g^2+7g-11=0

$$4 g ^ { 2 } + 7 g - 11 = 0$$

Løs for g

$$g = -\frac{11}{4} = -2\frac{3}{4} = -2,75$$

$$g=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4g^{2}+ag+bg-11. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -44.

$$-1,44 -2,22 -4,11$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+44=43 -2+22=20 -4+11=7$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-4 b=11$$

Omskriv 4g^{2}+7g-11 som \left(4g^{2}-4g\right)+\left(11g-11\right).

$$\left(4g^{2}-4g\right)+\left(11g-11\right)$$

Ud4g i den første og 11 i den anden gruppe.

$$4g\left(g-1\right)+11\left(g-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet g-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(g-1\right)\left(4g+11\right)$$

Løs g-1=0 og 4g+11=0 for at finde Lignings løsninger.

$$g=1 g=-\frac{11}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4g^{2}+7g-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 7 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$g=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 7.

$$g=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$g=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -11.

$$g=\frac{-7±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Adder 49 til 176.

$$g=\frac{-7±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 225.

$$g=\frac{-7±15}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$g=\frac{-7±15}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, g=\frac{-7±15}{8} når ± er plus. Adder -7 til 15.

$$g=\frac{8}{8}$$

Divider 8 med 8.

$$g=1$$

Nu skal du løse ligningen, g=\frac{-7±15}{8} når ± er minus. Subtraher 15 fra -7.

$$g=-\frac{22}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-22}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$g=-\frac{11}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$g=1 g=-\frac{11}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4g^{2}+7g-11=0$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$4g^{2}+7g-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Hvis -11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4g^{2}+7g=-\left(-11\right)$$

Subtraher -11 fra 0.

$$4g^{2}+7g=11$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4g^{2}+7g}{4}=\frac{11}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$g^{2}+\frac{7}{4}g=\frac{11}{4}$$

Divider \frac{7}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$g^{2}+\frac{7}{4}g+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$g^{2}+\frac{7}{4}g+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Føj \frac{11}{4} til \frac{49}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$g^{2}+\frac{7}{4}g+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor g^{2}+\frac{7}{4}g+\frac{49}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(g+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(g+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Forenkling.

$$g+\frac{7}{8}=\frac{15}{8} g+\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Subtraher \frac{7}{8} fra begge sider af ligningen.

$$g=1 g=-\frac{11}{4}$$