Løs 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Subtraher 169 fra 4 for at få -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-165. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Løsningen er det par, der får summen 8.

$$a=-22 b=30$$

Omskriv 4x^{2}+8x-165 som \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Ud2x i den første og 15 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-11 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Løs 2x-11=0 og 2x+15=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Subtraher 169 fra 4 for at få -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 8 med b og -165 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Adder 64 til 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±52}{8} når ± er plus. Adder -8 til 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{44}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±52}{8} når ± er minus. Subtraher 52 fra -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-60}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Subtraher 169 fra 4 for at få -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Tilføj 165 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$4x^{2}+8x=165$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Divider 8 med 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Adder \frac{165}{4} til 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$