Løs 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Løs for y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som y^{2}+ay+by-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-2 b=1$$

Omskriv y^{2}-y-2 som \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Udfaktoriser y i y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Udfaktoriser fællesleddet y-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Løs y-2=0 og y+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=2 y=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -4 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Adder 16 til 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{4±12}{8} når ± er plus. Adder 4 til 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$y=2$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{4±12}{8} når ± er minus. Subtraher 12 fra 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Divider -8 med 8.

$$y=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$y=2 y=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Hvis -8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Subtraher -8 fra 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Divider 8 med 4.

$$y^{2}-y=2$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adder 2 til \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor y^{2}-y+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$y=2 y=-1$$