Løs 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -5 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Adder 25 til -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} når ± er plus. Adder 5 til 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{15} fra 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{5}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{25}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Adder \frac{5}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$