Løs 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 4x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -4.

$$a=-6 b=2$$

Omskriv 4x^{2}-4x-3 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser 2x i 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Løs 2x-3=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -4 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Adder 16 til 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±8}{8} når ± er plus. Adder 4 til 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±8}{8} når ± er minus. Subtraher 8 fra 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Føj \frac{3}{4} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$