Løs 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -4 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Adder 16 til 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} når ± er plus. Adder 4 til 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Divider 4+4\sqrt{17} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{17} fra 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Divider 4-4\sqrt{17} med 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Adder 16 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Hvis -16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Subtraher -16 fra 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Divider 16 med 4.

$$x^{2}-x=4$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Adder 4 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$