Løs 4x^2-3x-2=0

$$4 { x }^{ 2 } -3x-2=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-3x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -3 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+32}}{2\times 4}$$

Adder 9 til 32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{3±\sqrt{41}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{41}}{8} når ± er plus. Adder 3 til \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{41}}{8} når ± er minus. Subtraher \sqrt{41} fra 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-3x-2=0$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Hvis -2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Subtraher -2 fra 0.

$$4x^{2}-3x=2$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{2}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{3}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{9}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Adder \frac{3}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$