Løs 4x^2-24x+37=0

$$4 { x }^{ 2 } -24x+37=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=3+\frac{1}{2}i=3+0,5i$$

$$x=3-\frac{1}{2}i=3-0,5i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-24x+37=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -24 med b og 37 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 37}}{2\times 4}$$

Kvadrér -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 37}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 37}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 37.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-592}}{2\times 4}$$

Adder 576 til -592.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-16}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±4i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -24 er 24.

$$x=\frac{24±4i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{24±4i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±4i}{8} når ± er plus. Adder 24 til 4i.

$$x=\frac{24+4i}{8}$$

Divider 24+4i med 8.

$$x=3+\frac{1}{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±4i}{8} når ± er minus. Subtraher 4i fra 24.

$$x=\frac{24-4i}{8}$$

Divider 24-4i med 8.

$$x=3-\frac{1}{2}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3+\frac{1}{2}i x=3-\frac{1}{2}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-24x+37=0$$

Subtraher 37 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-24x+37-37=-37$$

Hvis 37 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-24x=-37$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-24x}{4}=-\frac{37}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{4}\right)x=-\frac{37}{4}$$

Divider -24 med 4.

$$x^{2}-6x=-\frac{37}{4}$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-\frac{37}{4}+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-\frac{37}{4}+9$$

Adder -\frac{37}{4} til 9.

$$x^{2}-6x+9=-\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x-3=\frac{1}{2}i x-3=-\frac{1}{2}i$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=3+\frac{1}{2}i x=3-\frac{1}{2}i$$