Løs 4x^2-16x+33=0

$$4 { x }^{ 2 } -16x+33=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2\approx 2+2,061552813i$$

$$x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2\approx 2-2,061552813i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-16x+33=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -16 med b og 33 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Kvadrér -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 33}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 33.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-528}}{2\times 4}$$

Adder 256 til -528.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-272}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -272.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±4\sqrt{17}i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -16 er 16.

$$x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{8} når ± er plus. Adder 16 til 4i\sqrt{17}.

$$x=\frac{16+4\sqrt{17}i}{8}$$

Divider 16+4i\sqrt{17} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{8} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{17} fra 16.

$$x=\frac{-4\sqrt{17}i+16}{8}$$

Divider 16-4i\sqrt{17} med 8.

$$x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-16x+33=0$$

Subtraher 33 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-16x+33-33=-33$$

Hvis 33 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-16x=-33$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-16x}{4}=-\frac{33}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{4}\right)x=-\frac{33}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x^{2}-4x=-\frac{33}{4}$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{33}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{33}{4}+4$$

Adder -\frac{33}{4} til 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Forenkling.

$$x-2=\frac{\sqrt{17}i}{2} x-2=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$