Løs 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -12.

$$a=-14 b=2$$

Omskriv 4x^{2}-12x-7 som \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Udfaktoriser 2x i 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Løs 2x-7=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -12 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Adder 144 til 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±16}{8} når ± er plus. Adder 12 til 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{28}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±16}{8} når ± er minus. Subtraher 16 fra 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Divider -12 med 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Føj \frac{7}{4} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$