Løs 4x^2-10x+4=0

$$4 { x }^{ 2 } -10x+4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$2x^{2}-5x+2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=2\times 2=4$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-4 b=-1$$

Omskriv 2x^{2}-5x+2 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Ud2x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Løs x-2=0 og 2x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-10x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -10 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2\times 4}$$

Adder 100 til -64.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±6}{2\times 4}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±6}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{10±6}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±6}{8} når ± er plus. Adder 10 til 6.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±6}{8} når ± er minus. Subtraher 6 fra 10.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-10x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-10x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-10x=-4$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{4}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{4}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{4}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-1$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Adder -1 til \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$