Løs 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Løs for x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 120 fra begge sider.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Divider begge sider med 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-5 b=6$$

Omskriv x^{2}+x-30 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Udfaktoriser x i den første og 6 i den anden gruppe.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Løs x-5=0 og x+6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=-6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+4x=120$$

Subtraher 120 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Hvis 120 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 4 med b og -120 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Adder 16 til 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±44}{8} når ± er plus. Adder -4 til 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Divider 40 med 8.

$$x=5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±44}{8} når ± er minus. Subtraher 44 fra -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Divider -48 med 8.

$$x=-6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5 x=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+4x=120$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Divider 4 med 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Divider 120 med 4.

$$x^{2}+x=30$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Adder 30 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=5 x=-6$$